Divisibilidad y números enteros
Acompañado de un reflexión sobre el estudio de las matemáticas
Es común escuchar a las personas decir que las matemáticas y los números no son lo suyo, a algunos se les dificulta incluso las operaciones aritméticas básicas. En Colombia tenemos un déficit en matemática y comprensión lectora (dos cosas que van de la mano) que lo mantiene en los últimos lugares de las pruebas PISA. Desde mi experiencia, como egresado de un colegio público, en muchas ocasiones se dicta durante mucho tiempo un mismo tema, por ejemplo factorización de polinomios, muchos de los estudiantes se veían incapaces de entenderlo y el profesor se veía en la tarea de repetir y repetir hasta que la gran mayoría lograra comprender el tema. Aún así al avanzar los grados, era evidente que muchos arrastraban la deuda de conocimiento. En mi caso fue en la etapa universitaria cuando más dificultades tuve para seguir el ritmo de aprendizaje, como estudiante de ingeniería, al inicio de mi carrera tuve dificultades para entender conceptos y procedimientos que requerían de traer unas bases matemáticas consolidadas. Creo que el sistema educativo Colombiano, en especial la forma en que se enseñan las matemáticas es basada en un modelo antiguo y poco efectivo que prioriza la memorización y no el análisis y la compresión de los conceptos; además de eso, el nivel de exigencia y de profundidad es mínimo y mediocre. La cereza del pastel son los temas que se enseñan, una combinación que deja a los estudiantes no solo con falta de conocimientos sino también con temor y desagrado por una ciencia que está llena de diversión y belleza y que en mi opinión es la más humana de todas.
Ahora entremos en la cuestión de la teoría de números y del concepto de Divisibilidad. Soy novato en esta área de las matemáticas y el primer tema que me encontré fue el de los números enteros y el concepto de divisibilidad. Después de estudiar el capítulo me he puesto a pensar en este concepto y en su potencial para abrir paso al estudio y comprensión de las matemática como ciencia exacta y al desarrollo de un pensamiento matemático. Debo admitir que a mi se me dificultó el entendimiento de algunas de las demostraciones, pero el entendimiento de los conceptos es simple y elegante. Definamos primero que es divisibilidad.
Divisibilidad: Se dice que un número entero divide a otro, si el resultado de la división es otro número entero. En otras palabras, el resultado es exacto, sin decimales.
Una pregunta que surge naturalmente es: si tengo un conjunto de números enteros, ¿Cuál es el número más grande que los divide a todos? A este número se le conoce como el máximo común divisor (MCD).
Durante el colegio nos enseñan que dividir un número entre otro es restarle al dividendo el divisor repetidas veces hasta que tengas 0 o un número menor al divisor al que llamamos residuo. Al número de veces que restamos el divisor se le conoce como cociente. Fuera de eso nos enseñan a ejecutar la operación con una, dos, tres y hasta cuatro cifras. Para certificar el aprendizaje el estudiante repite muchas veces la operación (práctica) y luego se le realiza un examen (evaluación). Una vez aprobado el examen se asume que el estudiante ya sabe dividir y entiende el concepto de la división; Sin embargo, muchos adultos profesionales hoy en día la tiene difícil para dividir por dos o mas cifras.
Dividir se presta para mucho, pensemos por ejemplo en el algoritmo de la división. Yo escuché la palabra algoritmo por primera vez cuando estaba en la universidad, pero estoy seguro que un niño tiene toda la capacidad de entender este concepto. La definición del algoritmo es:
Dados dos números enteros a y b, con b diferente de cero. Existen dos enteros únicos q y r, con 0 ≤ r < b, tales que
De esta simple definición podemos observar el verdadero espíritu de la matemática. Por ejemplo, la existencia de q y r, que claramente son el cociente y el residuo de la operación. El hecho de que sean únicos y que esto sea demostrable nos lleva a introducir lo que es una demostración y su importancia en la matemática. También el desarrollo del pensamiento crítico, los niños, que por naturaleza son curiosos pueden jugar y experimentar con el algoritmo, con el concepto y el procedimiento.
Además del algoritmo de la división podemos definir otro algoritmo llamado Algoritmo de Euclides que nos permite encontrar el MCD entre dos números y que funciona de la siguiente manera.
Si a y b son dos enteros positivos con b diferente de 0. Entonces:
Si analizamos el algoritmo nos encontramos con que el término que acompaña el cociente pasa a ser el resultado en la siguiente iteración, y que el residuo pasa a ser término que acompaña el cociente. El algoritmo consiste en hallar el cociente y el residuo hasta que lleguemos a un punto donde el residuo sea cero, por ejemplo:
Podemos observar que cuando el residuo de una iteración es 0, el residuo de la iteración anterior es el MCD de los dos números. En este caso los dos números son múltiplos del número primo 23.
En conclusión, las matemáticas, desde lo más básico hasta lo mas complejo pueden llegar a ser divertidas y se basan en jugar y experimentar con los elementos (en este caso los números) y las operaciones que se realizaron con ellos. Quisiera decir que esto también es en parte una opinión personal, basada en mi experiencia educativa y de la que estoy seguro muchos educadores estarán de acuerdo y es que hay que buscar una forma en que los estudiantes tengan una mejor relación con las matemáticas, las matemáticas no solo forman ingenieros y científicos, también forman humanos con mejor capacidad para razonar y tomar decisiones.
